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不再失联

如果我们要强调数学到底在我们现实中有什么意义，那可以说，数学思维让我们有更理性的思考，更有逻辑的分析。能够用另外一种眼光来看这个世界。

本文转自：埃尔特订阅号（ID：Arete_edu）作者：张释文

大家都说中国的数学课程比国外的难很多，中国的基础教育扎实，中国学生的数学可以碾压国外学生。真的吗？

我反思的结论是：我们数学课的问题不在于难度，而在于我们的数学课堂上压根就没有数学。

我是一个中国学校的学渣。不是谦虚，是官方认证的。我在国内上中学的时候，150分的数学考试，最低考过27分。

27分大家知道是什么概念吗？我们那时候考试用的是答题卡，27分就相当于是把这个答题卡放到地上，然后踩两脚，把鞋印放到机器里，估计这样出来的分数也不止27分。

我考27分那次，是我们班的倒数第三名。还有两个比我更差的，我们三个人现在还是很好的朋友。

比我考得差的那两个人，倒数第二的考了26分，我以一分险胜。他现在在美国一个世界500强的公司担任副总裁级的高管。考倒数第一的那个人考了9分，9分啊，如果我是两个鞋印，他就只能是大半个鞋印了。这个人后来考上了英国的牛津大学，现在是全球知名的经济学家。

所以请大家放心，如果孩子数学成绩不好，不用太焦虑，其实它代表不了什么，既不代表你不聪明，也不代表你学习能力不好，是我们的数学课有问题。

先和大家分享我的一个故事。

那是我在英国读研究生的时候，刚入学没多久，老师在黑板上讲一道题，有一个7×9的算式，我在下面随口答了一句63，结果引来全班一片惊叹声。包括老师在内都用特别崇拜的眼光看着我，仿佛看到数学之神了。

英国一直没有乘法表和乘法口诀。2015年，英国前首相卡梅伦和教育部长摩根两个人曾经想过在中小学生中推广乘法表和乘法口诀，结果遭到了媒体和学生家长的一致反对。

有一次卡梅伦在演讲的时候，突然有个人站起来问他：“8×9等于多少？”卡梅伦当时张口结舌，目瞪口呆，因为他不知道8×9等于几。大家想想，一个英国的首相连8×9都算不出来。而我因为很快算出了7×9＝63，于是就第一次当了数学的学霸。

特别巧，没过几天我们就有一个测验，我是从来没有如此期待过数学考试，十多年来从来没有当过数学的好学生，终于有这个机会了，尤其还是在在国外，终于有了为国争光的机会。

到了考试那一天，老师把考题发下来，然后我发现一个特别奇怪的事，我所有的同学第一个动作就是从书包里拿出科学计算器，当时我就特别懵，因为我在国内上学的时候，计算器是不能在考试中用的。但是在英国学校里，计算器是一个必备工具。

所以我眼睁睁的看他们从书包里拿出计算器，而全班只有我从书包里拿出来的是一叠稿纸。

最后的结果，可想而知，全班只有我没有答完题目，因为别人都是只要知道方法了，他们就可以用计算器非常快的算出结果，而我把大量的时间都浪费在了计算过程上。最后在课程结束的时候我是唯一一个没有写完答案的人。

于是我开始反思，数学到底学什么？我们为什么要学数学？数学真的跟现实生活息息相关吗？我们学数学到底学的是什么？

大家都说中国的数学课程比国外的难很多，中国的基础教育扎实，中国学生的数学可以碾压国外学生。

我反思的结论是：我们数学课的问题不在于难度，而在于我们的数学课堂上压根就没有数学。

为什么国外学校可以容忍我们认为的特别低级的运算无能，但是他们却依然能够培养出那么多优秀的数学家？我们学数学究竟是学一种运算技巧，还是学一种数学思维。

我反思的结论，也就是我今天的题目：数学是一场游戏。因为数学是可以脱离现实生活，在完全想象的世界里进行逻辑运算的东西，数学最大的骄傲，就是可以与现实生活完全无关。

我们现在把数学公式都背得很熟练，把几何的原理背得很熟了，然后用不断地做各种各样的题。这就相当于我们玩游戏的时候，我不让你体验游戏的过程，我只告诉你，摁前进，摁五下，然后跳，往左边走，然后打，最后到了关卡，你记住上上下下，左右左右，ABBA，你把这些都记住，然后一遍一遍去训练，就可以完成任务。

大家觉得这样的游戏还有意思吗？这还是游戏吗？游戏的目的不是结果，而我们看到的所有的公式，其实就是游戏的结果，运用得再熟练，也无助于我们体验游戏的精髓。

我们需要具备的，是独立的思考、有创造力的思考，我们最不需要的就是“被训练”。就如高斯所说：“我们需要的是想法，而不是符号。”

数学的学习方式就像我们看电影或是看书一样。

比如，我们看《西游记》，我不告诉你唐僧为什么取经，他经历了什么事情，我就告诉你唐僧经过了九九八十一难，最后取回了真经，你要记住这八十一难都是什么，这个顺序还不能乱，最后考试的时候你要把每一难的名字答上去就算通过了。

大家觉得这样的阅读是正确的吗？如果大家觉得这样看书是不对的，为什么这样学数学就是对的呢？

其实数学和所有的文学、艺术、影视作品一样，都是人类为了娱乐自己创造出来的。而且它比我们所有的游戏，比如足球、篮球、和我们看到的所有电影都更自由。

因为这些游戏非常依赖于我们这个现实世界的物理性质，而数学是可以完全天马行空的创造出一个世界来，那个世界的规则完全可以由你来决定，你只要把你想要解答的题目的条件带入，使用一种严谨的推理，找出答案就可以了。这就是一个更加自由、更加考验创造力的游戏。

我们数学最大的问题，我们每个人都“隐约”记得一些公式和定义，但清晰记得我们对它们的”憎恨”！

我说数学其实就是一种游戏，你可以在你想象的世界里去制定规则，考验你的创造力。

我们举一道“鸡兔同笼”题，相信所有的孩子都被考过这道题：

笼子里有鸡和兔若干只， 笼子里有25个头和70只脚。问：兔子和鸡各有多少只？

我不知道大家是怎么做的题，我就记得我学这道题时，是在第一次学一元一次方程式，老师告诉我标准答案是：

我们假设兔的数量是 X：

4X＋2×（25－X）=70

X＝10

兔子＝10（只）

鸡＝25－10＝15（只）

这么做对不对呢？肯定是对的。那这道题这么做好玩吗？肯定不好玩。

“鸡兔同笼”其实有特别多的证法，我给大家举一个特别好玩的例子。

你想象一个世界，这一笼子的兔子和鸡就在这个想象的世界里，你站在这个笼子前面，一声令下，所有的动物都抬起一只脚，这个时候还有多少只动物站着？

70－25＝45只，还有45只脚站着，你再一声令下，所有动物又都抬起一直脚站着，这时候还有45－25＝20只脚站着，但是鸡已经一屁股坐地上了，因为鸡只有两只脚全抬起来了，那站着的全是兔子，这20只脚全是兔子的，所以兔子有10只，鸡就是15只。

这样解这道题就好玩。

这道题还有很多种解法，我们还有一种解法。

假设鸡也有四只脚，因为我们没有把它的翅膀算做脚，我们假设所有的鸡也有四只脚，那25个动物里面应该有100只脚，那为什么只有70只脚呢？因为有30个（100－70＝30）翅膀没有算做脚嘛！那30个翅膀肯定就是鸡的了，所以就是15只鸡。

我们再举个例子：这是一个矩形，就是一个长方形，长方形里面有一个三角形，问题就是：这个绿色的三角形面积和旁边蓝色三角形面积的比是多少？

正常来说我们的标准答案是：

三角形的面积＝1／2×底×高

矩形面积＝底×高

这么一算矩形内三角形内和三角形外的面积比是1：1，这么解对不对呢？肯定对！那这么解好不好玩呢？肯定不好玩。

我们来说另外一种解法。

还是放到我们想象的世界里。

把它想象成一张纸，我们从三角形顶点向下画一条线，把它撕开，它变成了两个方形，每一个方形都被对角线分割成了一模一样的两个部分，也就是每一个方形里面绿色和蓝色部分的面积都是一样的，他们合起来的面积也是一样的，也是1：1。

我们再举一个例子，有条直线上面有两个点，从左边这个点到达直线再到达右边这个点最短的距离怎么画？我们可以多种情况画，怎么才能画出最短的线呢？

最简单的方法是：

在右边那个点给它一个镜像，也就是给它一个对直线来说对称的点，因为这个蓝色的点和直线上面它对称的那个绿色的点对于这个直线的位置是一样的。

所以我们从左边这个绿点到右边这个绿点，就可以转换成从左边这个绿点到右边这个蓝点，两点之间最短的距离是一条直线，它与原来那条直线有个交点，这个点连上直线上面左右两个绿点的直线间距离就是我们要画的最短的距离。

我们可以不知道那些公式、定理，我们可以在我们想象的世界里把这些东西做的很有意思。这就是数学的意义，这就是数学训练我们真正的目的。不是训练我们什么计算能力，它是训练我们一种数学思维。

什么是数学思维呢？

我特意查了一下百度，百度对数学思维的概念是这样：数学思维是数学的思考问题和解决问题的思考形式，也就是能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，比如转化与划归、从一般到特殊、特殊到一般、函数/映射的思想等等。

说得对，但不好懂。我怎么理解数学思维的呢？数学思维就是游戏思维，就是穷尽你的想象力去创造一个世界，然后用严谨的论证和逻辑推理去得到一个答案。是一种高度抽象并解决问题的能力。

数学思维给你的是重新看世界的一双眼睛，看这个世界的另外一种眼光。有的时候它可能跟我们对这个世界的直觉理解会比较大的的区别。我举几个的例子：

我们知道，自然数、奇数、偶数。

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12…… 自然数

2，4，6，8，10，12，14，16，18，20…… 偶数

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19…… 奇数

大家觉得，自然数、偶数和奇数这三种数那个数的数目多？我们从直觉上感觉偶数和奇数组合成了自然数，自然数自然比它们多，但是从数学角度来说它们三个数是一样多的，因为他们三个的数目都是无穷。

我们再举个例子。

一个屋子里有23个人，他们有两个人的生日是同一天的可能性大不大？

直觉来说我们出去坐公交车、去机场等经常会碰见很多人，但我们都不会觉得在这么多人里面会有两个人的生日一样。

从数学的角度来说，在23个人的这个人群里，有两个人的生日是同月同日的概率超过50%。为什么？因为我们把每一个人的生日和另外22个人作对比，那它就是有253次对比的机会，在这253次对比中出现相同的概率是非常高的，这个就被称为“生日悖论”。

在计算机里面呢，有一种专门破解密码的方式叫做生日攻击，它的原理就是从生日悖论来的。

我再举个悖论例子。

减肥，从某种数学的角度来说，减肥这个事是不可能的。因为想要减掉10斤，首先得减掉5斤，那想减掉5斤，就得先减掉2.5斤，想要减掉2.5斤，就先得减掉1.25斤。这个是无穷的对折，但人无法减掉一个无穷的数，所以减肥是不可能的。

就像龟兔赛跑。只要乌龟先跑，兔子就永远都追不上。为什么？因为兔子永远要到达乌龟之前到达的那一个点，那兔子只要到达那一个点，那乌龟就又往前移动了，所以兔子永远都无法追上乌龟。

我们知道这个在现实生活中是不可能的，但是大家想想，这一个一个的著名“悖论”，就是数学家在玩的一个一个游戏。如果说我们学数学是希望有用，那我告诉大家，你只要学会加减法，会用计算器就可以了。因为数学就是数学家在玩的游戏。

那应该要怎样锻炼数学思维？我觉得要把每一个数字都看成游戏中的一个元素。忘掉所有的公式和定理，用自己愿意、喜欢的方法去求证问题，然后不断试错。

另外就是玩真正的游戏，比如象棋、围棋、桌游。我前两天亲眼见到了一个十岁的孩子在玩数学推理的桌游，名字叫“达芬奇密码”，把两个二十八九岁、有硕士学位的成年人打的大败。

我总说数学是一个游戏，有证据吗？让我们回到数学的发端，毕达哥拉斯，人类最早的数学家之一。

他生活在2600年之前，特别好玩，他认为这个世界就是由数字支配的，数字是这个世界的真理，所以他对数字带有一种神性的膜拜，他给每个数字都赋予意义。比如他认为1是世界的开始，4是完美，5是婚姻等等。

虽然他对数字有这样神性的崇拜，但是他依然在拿数字做游戏。

比如说，他给这些数字增加了很多的名称，比如他认为6是一个完满数，因为这个数可以被1，2，3整除。1加2加3正好等于6，所以他认为6这个数是一个完满数。

10可以被1，2，5整除，1加2加5等于8，不到10，所以他认为10就是个亏数，他用这种做游戏的方式给各种各样的数字一些新的称呼。

他还说“朋友是你灵魂的倩影，要像220和284一样亲密”，这句话听着就特别像神经病人说的话啊，220和284两个数字有什么可亲密的呢？

220和284这两个数字，毕达哥拉斯把他们称之为亲和数，他们代表了友谊和爱情。因为220它可以被1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110整除，这些数加起来正好等于284。284可以被1，2，4，71，142整除，这些数加起来正好等于220。所以他认为284和220是一对亲和数，他们代表着友谊、爱情。

所以那个时候做徽章，就会刻着数字220和284，表示我们之间是好朋友。

毕达哥拉斯还办了一所学校，叫毕达哥拉斯半圆。

他为了招学生，他就跟学生说，你们过来跟我上课，每上一堂课我就给你多少钱。过了一段时间之后，他就跟他的学生说，他说“哎，我没钱了，我不能给你们上课了，咱们解散吧”。

这时候学生学他的课已经很入迷了，学生就说，这不行，你不给我上课，我这日子没法过呀，那这样，你给我上一堂课，我给你钱吧。所以毕达哥拉斯就开始每上一堂课，学生们就给他钱，他就把这个钱给赚回来了。

毕达哥拉斯还成立了一个组织，叫毕达哥拉斯兄弟会。最多的时候有300人。他们在一起聊哲学、数学，是当时的一个精英组织。这个兄弟会想加入很难，必须要经过毕达哥拉斯本人的面试。有一个人面试没通过就怀恨在心。

有一次趁着战争，把毕达哥拉斯兄弟会的大门紧锁，在里面放了一把火，包括毕达哥拉斯本人在内很多兄弟会的人都被烧死了，只有少数的几个人逃了出来，逃到了世界各地，最后为毕达哥拉斯学派在世界各地的生根发芽奠定了基础，数学也因为他们而有了蓬勃的发展。

毕达哥拉斯之后出现了很多著名的数学家，比如欧几里得，有次上课的时候，他的学生突然站起来问他说，“我们学这些东西，现实生活中到底有什么用”，欧几里得回头跟旁边的奴仆说，你给这个人拿三个钱币，让他走，他居然想从数学中得到实际的用处”。

欧几里得认为数学原本就是和实际生活没关系的，想在现实中得到实际的用处就是对数学的羞辱。

欧几里得之后，希腊对数学的研究，就已经偏向几何了，就算要解决代数问题，一般也套一个几何的壳子。直到出现了一个人，这个人叫丢番图，他可以说是古希腊集数学之大成者，他把代数从几何里拽了出来，这个人也被称为代数之父。

他写了一本书《算数》，残卷现在还保留着。这本书原来是收藏在亚历山大图书馆的，后来大家知道亚历山大图书馆被毁掉了，很多书只留下了残本。

丢番图之后，因为神学的兴起，数学就一落千丈，一直到一千年之后文艺复兴时期，人们才重新开始关心数学。

1667年，法国有一个大法官叫费马，他是一个数学爱好者，他在《算数》这本书的某一页写了一句话，他说：“当n＞2时，a∧n+b∧n=c∧n，这个公式没有正整数解，对于这道题，我已经想到了一个美妙的证法，很可惜地方不够，没法写。”

就这么一句话，困扰了数学家几百年。直到1994年，才最终验证。人类被它困扰了三百年，被称为费马大定理。费马大定理的验证过程，就是整个数论的发展历史，这里边有太多熠熠生辉的名字，比如高斯、欧拉等等。

还有很多好玩的故事，比如德国有一个数学爱好者，也是个商人，叫沃尔夫凯勒，他做生意很成功，挣了很多钱，但他追求一个女孩追不上，很痛苦，准备自杀。

他是个德国人，做事很严谨，自杀那天他列了一个计划：7点干什么、8点干什么……最后要在午夜12点钟声响起的时候，吞枪自尽。但是他做事比较快，9点钟就把所有事做完了，又不想放弃美感提前自杀，那干点什么呢？

他就随手抄起了一本书。因为是一个数学爱好者，他拿起的是一本数学期刊，里面有一篇论文，是一个著名数学家验证另外两个数学家对费马大定理的验证是错误的，而且他推论费马大定理在现阶段是无法验证的。

沃尔夫凯勒在阅读中发现了作者的一个漏洞——使用了一个未经证明的公式，于是他就拿起笔开始对论文进行弥补。等他做了一整晚的验算，补足了论文的漏洞时，已经是第二天早晨了。

这个时候，他的心情非常舒畅，作为数学爱好者居然帮助一个著名的数学家补足了论文漏洞。他感觉生活太美好了，不再想自杀了，之后还捐出了10万马克，承诺奖给在他死后100年之内，解决费马大定理的人。

最后完成了验证费马大定理的是安德鲁·怀尔斯，著名的英国数学家，他在1993年的一次大会上宣布自己证实了费马大定理，但在一个月之内，被同行评议发现论文中有一个重大疏忽。

在继续补足疏忽中，他一度想要放弃。期间，他的太太一直在鼓励他，对他说“我最想要的生日礼物，就是你对定理的最终验证”。

安德鲁第一次发布有漏洞的论文是在1993年8月，他太太的生日是在10月，结果直到第二年的9月19日，他才最终真正完成了费马大定理的验证。

在太太的生日晚会上，安德鲁从楼上拿下来一叠稿纸交给他的太太，对她说：“我完成了费马大定理，我结束了困扰人类三百年的难题，这就是我给你的生日礼物。”

看看，数学家也是很会煽情的。安德鲁的最终证明写了足足一百页，后来就有人说费马写下那句著名的话“对于这道题，我已经想到了一个美妙的证明法，但是很可惜地方不够，没法写”的时候，其实并没有真正验证这个猜想的能力，因为现在看到的最终证明里，用到了很多费马去世一百年之后才发明的数学模型和公式。

其实费马大定律就是费马自己想出来的一个数学游戏，很多的数学家来一起玩儿。而数学的发展就是由一个又一个的游戏来推动的。

比如，一个叫希尔伯特的数学家，他有一个特别的称呼，叫数学之王。他在1900年提出了人类要解决的二十三个数学难题，然后在2000年的时候，一些数学家模仿他，提出了千禧年七大数学难题。这些题就是推动了这一百多年主流数学的发展，其实就是三十个数学游戏。

这些游戏包括我们都知道的哥德巴赫猜想，希尔伯特提出的二十三个人类要解决的数学题，目前还有九个没有得到论证。

千禧年的七大数学难题已经有一个被验证了，就是庞加莱猜想，被俄罗斯数学家格里高利佩雷尔曼验证。他证实了庞加莱猜想后，没有去领菲尔茨奖，仍然住在圣彼得堡的一个简陋的单身公寓里，他没有去领奖金也不接受媒体的采访。

后来美国的一个记者终于在圣彼得堡堵住了偑雷尔曼。但是佩雷尔曼就在公寓里面不开门，隔着门咆哮：不要来烦我，我应有尽有！

其实真正的数学家的乐趣不是来自于现实生活上的物质。而是来自于数学的虚拟世界，在这个世界尽情的游戏。

如果我们要强调数学到底在我们现实中有什么意义，那可以说，数学思维让我们有更理性的思考，更有逻辑的分析。能够用另外一种眼光来看这个世界。

最起码，它能让我们少上一些当，能让我们看穿一些初级骗局。

举个例子，在雷锋日记里有一段话说：我连过年所放的假都没有休息。我去捡大粪，初一初二那两天我一共捡大粪六百来斤。我想这也是响应党的号召，大积肥，也搞了卫生运动也能够促进农业生产。

其实这是一道数学题，一共捡大粪六百多斤，两天捡大粪六百多斤，一天就是一百五十公斤。一百五十公斤的粪便，约等于一千四百坨。

我们假设雷锋同志从早上九点出门，晚上五点回来，这中间不吃不喝不停的劳动。平均每小时捡粪一百七十五坨，每分钟2.9坨。

我们知道那是大年初一初二，他在抚顺，天特别冷，粪便应该都冻在地上很难弄的，我们不去计算铲下来需要多少时间，把所有时间都忽略掉。平均每二十秒就要捡起一坨，相当于他每一步都能捡到。

我看到过一篇文章写道“雷锋同志，你哪里是在捡粪呀，你分明就是在粪坑里呀。”

给大家推荐一本书《数学家的叹息》，不管你是对数学学习有困难的孩子，还是家长、老师，都特别推荐这本书。

扉页上写着《小王子》的作者的一句话：如果你要造船，不要招揽人来搬木柴，不要指派任务和工作，而要教他们渴望那无边无际、广袤的大海。

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